Опорными точками при исследовании функций и построения их графиков служат характерные точки – точки разрыва, экстремума, перегиба, пересечения с осями координат. С помощью дифференциального исчисления можно установить характерные особенности изменения функций: возрастание и убывание, максимумы и минимумы, направление выпуклости и вогнутости графика, наличие асимптот.

Эскиз графика функции можно (и нужно) набрасывать уже после нахождения асимптот и точек экстремума, а сводную таблицу исследования функции удобно заполнять по ходу исследования.

Обычно используют следующую схему исследования функции.

1. Находят область определения, интервалы непрерывности и точки разрыва функции .

2. Исследуют функцию на чётность или нечётность (осевая или центральная симметрия графика.

3. Находят асимптоты (вертикальные, горизонтальные или наклонные).

4. Находят и исследуют промежутки возрастания и убывания функции, точки её экстремума.

5. Находят интервалы выпуклости и вогнутости кривой, точки её перегиба .

6. Находят точки пересечения кривой с осями координат, если они существуют.

7. Составляют сводную таблицу исследования.

8. Строят график, учитывая исследование функции, проведённое по вышеописанным пунктам.

Пример. Исследовать функцию

и построить её график.

7. Составим сводную таблицу исследования функции, куда внесём все характерные точки и интервалы между ними. Учитывая чётность функции, получаем следующую таблицу:

				Особенности графика
[-1, 0[			Возрастает	Выпуклый
				(0; 1) – точка максимума
]0, 1[			Убывает	Выпуклый
				Точка перегиба, образует с осью Ox тупой угол

С некоторых пор в TheBat (непонятно по какой причине) перестает корректно работать встроенная база сертификатов для SSL.

При проверке посты выскакивает ошибка:

Неизвестный сертификат СА
Сервер не представил корневой сертификат в сессии и соответствующий корневой сертификат не найден в адресной книге.
Это соедининение не может быть секретным. Пожалуйста
свяжитесь с администратором вашего сервера.

И предлагается на выбор ответы - ДА / НЕТ. И так каждый раз когда снимаешь почту.

Решение

В этом случае случае нужно заменить стандарт реализации S/MIME и TLS на Microsoft CryptoAPI в настройках TheBat!

Так как мне надо было все файлы объединить в один, то я сначала преобразовал все doc файлы в единый pdf файл (с помощью программы Acrobat), а затем уже через онлайн-конвертер перевёл в fb2. Можно же конвертировать файлы и по отдельности. Форматы могут быть совершенно любые (исходные) и doc, и jpg, и даже zip архив!

Название сайта соответствующее сути:) Онлайн Фотошоп.

Апдейт май 2015

Я нашел еще один замечательный сайт! Еще удобнее и функциональнее для создания абсолютно произвольного коллажа! Это сайт http://www.fotor.com/ru/collage/ . Пользуйтесь на здоровье. И сам буду пользоваться.

Столкнулся в жизни с ремонтом электроплиты. Уже много что делал, много чему научился, но как-то с плитками дела имел мало. Нужна была замена контактов на регуляторах и конфорок. Возник вопрос - как определить диаметр конфорки у электроплиты?

Ответ оказался прост. Не надо ничего мерить, можно спокойной на глаз определить какой вам нужен размер.

Самая маленькая конфорка - это 145 миллиметров (14,5 сантиметров)

Средняя конфорка - это 180 миллиметров (18 сантиметров).

И, наконец, самая большая конфорка - это 225 миллиметров (22,5 сантиметров).

Достаточно на глаз определить размер и понять какого диаметра вам нужна конфорка. Я когда этого не знал - парился с этими размерами, не знал как измерять, по какому краю ориентироваться и т.д. Теперь я мудр:) Надеюсь и вам помог!

В жизни столкнулся с такой задачей. Думаю, что не я один такой.

Как исследовать функцию и построить её график?

Похоже, я начинаю понимать одухотворённо-проникновенный лик вождя мирового пролетариата, автора собрания сочинений в 55 томах…. Нескорый путь начался элементарными сведениями о функциях и графиках , и вот сейчас работа над трудоемкой темой заканчивается закономерным результатом – статьёй о полном исследовании функции . Долгожданное задание формулируется следующим образом:

Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и на основании результатов исследования построить её график

Или короче: исследовать функцию и построить график.

Зачем исследовать? В простых случаях нас не затруднит разобраться с элементарными функциями, начертить график, полученный с помощью элементарных геометрических преобразований и т.п. Однако свойства и графические изображения более сложных функций далеко не очевидны, именно поэтому и необходимо целое исследование.

Основные этапы решения сведены в справочном материале Схема исследования функции , это ваш путеводитель по разделу. Чайникам требуется пошаговое объяснение темы, некоторые читатели не знают с чего начать и как организовать исследование, а продвинутым студентам, возможно, будут интересны лишь некоторые моменты. Но кем бы вы ни были, уважаемый посетитель, предложенный конспект с указателями на различные уроки в кратчайший срок сориентирует и направит Вас в интересующем направлении. Роботы прослезились =) Руководство свёрстано в виде pdf-файла и заняло заслуженное место на странице Математические формулы и таблицы .

Исследование функции я привык разбивать на 5-6 пунктов:

6) Дополнительные точки и график по результатам исследования.

На счёт заключительного действия, думаю, всем всё понятно – будет очень обидно, если в считанные секунды его перечеркнут и вернут задание на доработку. ПРАВИЛЬНЫЙ И АККУРАТНЫЙ ЧЕРТЁЖ – это основной результат решения! Он с большой вероятностью «прикроет» аналитические оплошности, в то время как некорректный и/или небрежный график доставит проблемы даже при идеально проведённом исследовании.

Следует отметить, что в других источниках количество пунктов исследования, порядок их выполнения и стиль оформления могут существенно отличаться от предложенной мной схемы, но в большинстве случаев её вполне достаточно. Простейшая версия задачи состоит всего из 2-3 этапов и формулируется примерно так: «исследовать функцию с помощью производной и построить график» либо «исследовать функцию с помощью 1-й и 2-й производной, построить график».

Естественно – если в вашей методичке подробно разобран другой алгоритм или ваш преподаватель строго требует придерживаться его лекций, то придётся внести некоторые коррективы в решение. Не сложнее, чем заменить вилку бензопилой ложкой.

Проверим функцию на чётность/нечётность:

После чего следует шаблонная отписка:
, значит, данная функция не является чётной или нечётной.

Так как функция непрерывна на , то вертикальные асимптоты отсутствуют.

Нет и наклонных асимптот.

Примечание : напоминаю, что более высокого порядка роста , чем , поэтому итоговый предел равен именно «плюс бесконечности».

Выясним, как ведёт себя функция на бесконечности:

Иными словами, если идём вправо, то график уходит бесконечно далеко вверх, если влево – бесконечно далеко вниз. Да, здесь тоже два предела под единой записью. Если у вас возникли трудности с расшифровкой знаков , пожалуйста, посетите урок о бесконечно малых функциях .

Таким образом, функция не ограничена сверху и не ограничена снизу . Учитывая, что у нас нет точек разрыва, становится понятна и область значений функции : – тоже любое действительное число.

ПОЛЕЗНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ ПРИЁМ

Каждый этап задания приносит новую информацию о графике функции , поэтому в ходе решения удобно использовать своеобразный МАКЕТ. Изобразим на черновике декартову систему координат. Что уже точно известно? Во-первых, у графика нет асимптот, следовательно, прямые чертить не нужно. Во-вторых, мы знаем, как функция ведёт себя на бесконечности. Согласно проведённому анализу, нарисуем первое приближение:

Заметьте, что в силу непрерывности функции на и того факта, что , график должен, по меньшей мере, один раз пересечь ось . А может быть точек пересечения несколько?

3) Нули функции и интервалы знакопостоянства.

Сначала найдём точку пересечения графика с осью ординат. Это просто. Необходимо вычислить значение функции при :

Полтора над уровнем моря.

Чтобы найти точки пересечения с осью (нули функции) требуется решить уравнение , и тут нас поджидает неприятный сюрприз:

В конце притаился свободный член, который существенно затрудняет задачу.

Такое уравнение имеет, как минимум, один действительный корень, и чаще всего этот корень иррационален. В худшей же сказке нас поджидают три поросёнка. Уравнение разрешимо с помощью так называемых формул Кардано , но порча бумаги сопоставима чуть ли не со всем исследованием. В этой связи разумнее устно либо на черновике попытаться подобрать хотя бы один целый корень. Проверим, не являются ли оными числа :
– не подходит;
– есть!

Здесь повезло. В случае неудачи можно протестировать ещё и , а если и эти числа не подошли, то шансов на выгодное решение уравнения, боюсь, очень мало. Тогда пункт исследования лучше полностью пропустить – авось станет что-нибудь понятнее на завершающем шаге, когда будут пробиваться дополнительные точки. И если таки корень (корни) явно «нехорошие», то об интервалах знакопостоянства лучше вообще скромно умолчать да поаккуратнее выполнить чертёж.

Однако у нас есть красивый корень , поэтому делим многочлен на без остатка:

Алгоритм деления многочлена на многочлен детально разобран в первом примере урока Сложные пределы .

В итоге левая часть исходного уравнения раскладывается в произведение:

А теперь немного о здоровом образе жизни. Я, конечно же, понимаю, что квадратные уравнения нужно решать каждый день, но сегодня сделаем исключение: уравнение имеет два действительных корня .

На числовой прямой отложим найденные значения и методом интервалов определим знаки функции:


Таким образом, на интервалах график расположен
ниже оси абсцисс , а на интервалах – выше данной оси .

Полученные выводы позволяют детализировать наш макет, и второе приближение графика выглядит следующим образом:

Обратите внимание, что на интервале функция обязательно должна иметь хотя бы один максимум, а на интервале – хотя бы один минимум. Но сколько раз, где и когда будет «петлять» график, мы пока не знаем. К слову, функция может иметь и бесконечно много экстремумов .

4) Возрастание, убывание и экстремумы функции.

Найдём критические точки:

Данное уравнение имеет два действительных корня . Отложим их на числовой прямой и определим знаки производной:


Следовательно, функция возрастает на и убывает на .
В точке функция достигает максимума: .
В точке функция достигает минимума: .

Установленные факты загоняют наш шаблон в довольно жёсткие рамки:

Что и говорить, дифференциальное исчисление – штука мощная. Давайте окончательно разберёмся с формой графика:

5) Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Найдём критические точки второй производной:

Определим знаки :


График функции является выпуклым на и вогнутым на . Вычислим ординату точки перегиба: .

Практически всё прояснилось.

6) Осталось найти дополнительные точки, которые помогут точнее построить график и выполнить самопроверку. В данном случае их мало, но пренебрегать не будем:

Выполним чертёж:

Зелёным цветом отмечена точка перегиба, крестиками – дополнительные точки. График кубической функции симметричен относительно своей точки перегиба, которая всегда расположена строго посередине между максимумом и минимумом.

По ходу выполнения задания я привёл три гипотетических промежуточных чертежа. На практике же достаточно нарисовать систему координат, отмечать найденные точки и после каждого пункта исследования мысленно прикидывать, как может выглядеть график функции. Студентам с хорошим уровнем подготовки не составит труда провести такой анализ исключительно в уме без привлечения черновика.

Для самостоятельного решения:

Пример 2

Исследовать функцию и построить график.

Тут всё быстрее и веселее, примерный образец чистового оформления в конце урока.

Немало секретов раскрывает исследование дробно-рациональных функций:

Пример 3

Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и на основании результатов исследования построить её график.

Решение : первый этап исследования не отличается чем-то примечательным, за исключением дырки в области определения:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , область определения : .

, значит, данная функция не является четной или нечетной.

Очевидно, что функция непериодическая.

График функции представляет собой две непрерывные ветви, расположенные в левой и правой полуплоскости – это, пожалуй, самый важный вывод 1-го пункта.

2) Асимптоты, поведение функции на бесконечности.

а) С помощью односторонних пределов исследуем поведение функции вблизи подозрительной точки, где явно должна быть вертикальная асимптота:

Действительно, функции терпит бесконечный разрыв в точке ,
а прямая (ось ) является вертикальной асимптотой графика .

б) Проверим, существуют ли наклонные асимптоты:

Да, прямая является наклонной асимптотой графика , если .

Пределы анализировать смысла не имеет, поскольку и так понятно, что функция в обнимку со своей наклонной асимптотой не ограничена сверху и не ограничена снизу .

Второй пункт исследования принёс много важной информации о функции. Выполним черновой набросок:

Вывод №1 касается интервалов знакопостоянства. На «минус бесконечности» график функции однозначно расположен ниже оси абсцисс, а на «плюс бесконечности» – выше данной оси. Кроме того, односторонние пределы сообщили нам, что и слева и справа от точки функция тоже больше нуля. Обратите внимание, что в левой полуплоскости график, по меньшей мере, один раз обязан пересечь ось абсцисс. В правой полуплоскости нулей функции может и не быть.

Вывод №2 состоит в том, что функция возрастает на и слева от точки (идёт «снизу вверх»). Справа же от данной точки – функция убывает (идёт «сверху вниз»). У правой ветви графика непременно должен быть хотя бы один минимум. Слева экстремумы не гарантированы.

Вывод №3 даёт достоверную информацию о вогнутости графика в окрестности точки . О выпуклости/вогнутости на бесконечностях мы пока ничего сказать не можем, поскольку линия может прижиматься к своей асимптоте как сверху, так и снизу. Вообще говоря, есть аналитический способ выяснить это прямо сейчас, но форма графика «даром» прояснится на более поздних этапах.

Зачем столько слов? Чтобы контролировать последующие пункты исследования и не допустить ошибок! Дальнейшие выкладки не должны противоречить сделанным выводам.

3) Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства функции.

График функции не пересекает ось .

Методом интервалов определим знаки :

, если ;
, если .

Результаты пункта полностью соответствуют Выводу №1. После каждого этапа смотрите на черновик, мысленно сверяйтесь с исследованием и дорисовывайте график функции.

В рассматриваемом примере числитель почленно делится на знаменатель, что очень выгодно для дифференцирования:

Собственно, это уже проделывалось при нахождении асимптот.

– критическая точка.

Определим знаки :

возрастает на и убывает на

В точке функция достигает минимума: .

Разночтений с Выводом №2 также не обнаружилось, и, вероятнее всего, мы на правильном пути.

Значит, график функции является вогнутым на всей области определения.

Отлично – и чертить ничего не надо.

Точки перегиба отсутствуют.

Вогнутость согласуется с Выводом №3, более того, указывает, что на бесконечности (и там и там) график функции расположен выше своей наклонной асимптоты.

6) Добросовестно приколотим задание дополнительными точками. Вот здесь придётся изрядно потрудиться, поскольку из исследования нам известны только две точки.

И картинка, которую, наверное, многие давно представили:

В ходе выполнения задания нужно тщательно следить за тем, чтобы не возникало противоречий между этапами исследования, но иногда ситуация бывает экстренной или даже отчаянно-тупиковой. Вот «не сходится» аналитика – и всё тут. В этом случае рекомендую аварийный приём: находим как можно больше точек, принадлежащих графику (сколько хватит терпения), и отмечаем их на координатной плоскости. Графический анализ найденных значений в большинстве случаев подскажет, где правда, а где ложь. Кроме того, график можно предварительно построить с помощью какой-нибудь программы, например, в том же Экселе (понятно, для этого нужны навыки).

Пример 4

Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и построить её график.

Это пример для самостоятельного решения. В нём самоконтроль усиливается чётностью функции – график симметричен относительно оси , и если в вашем исследовании что-то противоречит данному факту, ищите ошибку.

Чётную или нечётную функцию можно исследовать только при , а потом пользоваться симметрией графика. Такое решение оптимально, однако выглядит, по моему мнению, весьма непривычно. Лично я рассматриваю всю числовую ось, но дополнительные точки нахожу всё же лишь справа:

Пример 5

Провести полное исследование функции и построить её график.

Решение : понеслась нелёгкая:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой: .

Значит, данная функция является нечетной, её график симметричен относительно начала координат.

Очевидно, что функция непериодическая.

2) Асимптоты, поведение функции на бесконечности.

Так как функция непрерывна на , то вертикальные асимптоты отсутствуют

Для функции, содержащей экспоненту, типично раздельное исследование «плюс» и «минус бесконечности», однако нашу жизнь облегчает как раз симметрия графика – либо и слева и справа есть асимптота, либо её нет. Поэтому оба бесконечных предела можно оформить под единой записью. В ходе решения используем правило Лопиталя :

Прямая (ось ) является горизонтальной асимптотой графика при .

Обратите внимание, как я хитро избежал полного алгоритма нахождения наклонной асимптоты: предел вполне легален и проясняет поведение функции на бесконечности, а горизонтальная асимптота обнаружилась «как бы заодно».

Из непрерывности на и существования горизонтальной асимптоты следует тот факт, что функция ограничена сверху и ограничена снизу .

3) Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства.

Здесь тоже сокращаем решение:
График проходит через начало координат.

Других точек пересечения с координатными осями нет. Более того, интервалы знакопостоянства очевидны, и ось можно не чертить: , а значит, знак функции зависит только от «икса»:
, если ;
, если .

4) Возрастание, убывание, экстремумы функции.


– критические точки.

Точки симметричны относительно нуля, как оно и должно быть.

Определим знаки производной:


Функция возрастает на интервале и убывает на интервалах

В точке функция достигает максимума: .

В силу свойства (нечётности функции) минимум можно не вычислять:

Поскольку функция убывает на интервале , то, очевидно, на «минус бесконечности» график расположен под своей асимптотой. На интервале функция тоже убывает, но здесь всё наоборот – после перехода через точку максимума линия приближается к оси уже сверху.

Из вышесказанного также следует, что график функции является выпуклым на «минус бесконечности» и вогнутым на «плюс бесконечности».

После этого пункта исследования прорисовалась и область значений функции:

Если у вас возникло недопонимание каких-либо моментов, ещё раз призываю начертить в тетради координатные оси и с карандашом в руках заново проанализировать каждый вывод задания.

5) Выпуклость, вогнутость, перегибы графика.

– критические точки.

Симметрия точек сохраняется, и, скорее всего, мы не ошибаемся.

Определим знаки :


График функции является выпуклым на и вогнутым на .

Выпуклость/вогнутость на крайних интервалах подтвердилась.

Во всех критических точках существуют перегибы графика. Найдём ординаты точек перегиба, при этом снова сократим количество вычислений, используя нечётность функции:

Построение графика функции по особенным точкам включает в себя исследование самой функции: определение области допустимых значений аргумента, определение области изменения функции, определение четности или нечетности функции, определение точек разрыва функции, нахождение интервалов знакопостоянства функции, нахождение асимптот графика функции. С помощью первой производной можно определить интервалы возрастания (убывания) функции, наличие точек экстремума. По второй производной можно определить интервалы выпуклости (вогнутости) графика функции, а также точки перегиба. При этом считаем, что если в некоторой точке xo касательная к графику функции выше кривой, то график функции в этой точке имеет выпуклость; если же касательная ниже кривой, то график функции в этой точке имеет вогнутость.

y(x) = x³/(x²+3)

1. Исследование функции.

а) Область допустимых значений аргумента: (-∞,+∞).

б) Область изменения функции: (-∞, +∞).

в) Функция является нечетной, т.к. y(-x) = -y(x), т.е. график функции симметричен относительно начала координат.

г) Функция является непрерывной, точек разрыва нет, следовательно, нет вертикальных асимптот.

д) Нахождение уравнения наклонной асимптоты y(x) = k∙x + b , где

k = /x и b =

В данном примере параметры асимптоты соответственно равны:

k = , т.к. старшая степень числителя и знаменателя одинаковые, равные трем, а отношение коэффициентов при этих старших степенях равно единице. При x→+ ∞ для вычисления предела использовали третий замечательный предел.

b = = = 0, при вычислении предела при x→+ ∞ воспользовались третьим замечательным пределом. Итак, график данной функции имеет наклонную асимптоту y=x.

2.

y´= /(x²+3)² - производная вычислена с помощью формулы дифференцирования частного.

а) Определяем нули производной и точки разрыва, приравнивая соответственно числитель и знаменатель производной нулю: y´=0, еслиx=0. Точек разрыва 1-я производная не имеет.

б) Определяем интервалы знакопостоянства производной, т.е. интервалы монотонности функции: при -∞производная положительна, следовательно, функция возрастает; при 0≤x<+∞, производная продолжает оставаться положительной, т.е. функция так же возрастает.

3. Исследование функции с помощью 2-ой производной.

Используя формулу дифференцирования частного и произведя алгебраические преобразования, полечим: y´´ = /(x²+3)³

а) Определяем нули 2-ой производной и интервалы знакопостоянства: y´´ = 0, если x=0 иx=+ 3 . Точек разрыва у 2-ой производной нет.

б) Определим интервалы закопостоянства 2-ой производной, т.е. интервалы выпуклости или вогнутости графика функции. При -∞и при0вторая производная y´´>0 , т.е. график функции вогнутый. При -3и при3вторая производная y´´<0, т.е. график функции выпуклый. Так как в точках x=0 и x=+ 3 вторая производная равна нулю, а ее знак меняется, то эти точки являются точками перегиба графика функции (рис.4).

Пример: исследовать функцию и построить ее график y(x)=((x-1)²∙(x+1))/x

1.Исследование функции.

а) Область допустимых значений: (-∞,0)U(0,+∞).

б) Область изменения функции: (-∞,+∞).

г) Данная функция имеет точку разрыва 2-ого рода при x=0.

д) Нахождение асимптот. Т.к. функция имеет точку разрыва 2-ого рода при x=0 , то следовательно, функция имеет вертикальную асимптоту x=0. Наклонных или горизонтальных асимптот данная функция не имеет.

2.Исследование функции с помощью 1-ой производной.

Преобразуем функцию, произведя все алгебраические действия. В результате вид функции значительно упростится: y(x)=x²-x-1+(1/x). От суммы слагаемых очень просто брать производную и получим: y´ = 2x – 1 –(1/x²).

а) Определяем нули и точки разрыва 1-ой производной. Приводим выражения для 1-ой производной к общему знаменателю и, приравняв числитель, а затем и знаменатель нулю, получим: y´=0 приx=1, y´ - не существуетприx=0.

б) Определим интервалы монотонности функции, т.е. интервалы знакопостоянства производной. При -∞<x<0 и0первая производнаяy´<0, следовательно, функция убывает. При 1≤x<∞ первая производнаяy´>0, следовательно, функция возрастает. В точке x=1 первая производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, в этой точке функция имеет минимум. Минимум пологий, т.к. при x=1 производнаяy´=0.

3.

y´´= 2 + 2/x³ . По 2-ой производной определим интервалы выпуклости или вогнутости графика функции, а также, если они имеются, точки перегиба. Приведем выражение для второй производной к общему знаменателю, а затем, приравнивая нулю поочередно числитель и знаменатель, получим: y´´=0 при x=-1, y´´- не существуетпри x=0.

При -∞и при 00 – график функции вогнутый. При -1≤x<0 – график функции выпуклый. Т.к. в точке x=-1 вторая производная меняет знак с плюса на минус, то точка x=-1 – точка перегиба графика функции (рис.5).

рис. 4 рис. 5

Пример: исследовать функцию и построить ее график y(x) = ln (x²+4x+5)

1.Исследование функции.

а) Область допустимых значений аргумента: логарифмическая функция существует только для аргументов строго больше нуля, следовательно, x²+4x+5>0 – это условие выполняется при всех значениях аргумента, т.е. О.Д.З. – (-∞, +∞).

б) Область изменения функции: (0, +∞). Преобразуем выражение, стоящее под знаком логарифма, и приравниваем функцию нулю: ln((x+2)²+1) =0. Т.е. функция обращается в ноль при x=-2. График функции будет симметричен относительно прямой x=-2.

в) Функция непрерывная, точек разрыва не имеет.

г) Асимптот у графика функции нет.

2.Исследование функции с помощью 1-ой производной.

Используя правило дифференцирования сложной функции, получим: y´= (2x+4)/(x²+4x+5)

а) Определим нули и точки разрыва производной: y´=0, при x=-2. Точек разрыва первая производная не имеет.

б) Определяем интервалы монотонности функции, т.е. интервалы знакопостоянства первой производной: при -∞<x<-2 производнаяy´<0, следовательно, функция убывает;при -2 производнаяy´>0, следовательно, функция возрастает. Так как производная в точке x=-2 меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция имеет минимум (пологий).

3.Исследование функции по 2-ой производной.

Представим первую производную в следующем виде: y´=2∙(x+2)/(1+(x+2)²). y´´=2∙(1-(x+2)²/(1+(x+2)²)².

а) Определим интервалы знакопостоянства второй производной. Так как знаменатель 2-ой производной всегда неотрицателен, то знак второй производной определяется только числителем. y´´=0 при x=-3 иx=-1.

При -∞и при-1вторая производная y´´<0, следовательно, график функции на этих интервалах выпуклый. При -3вторая производная y´´>0, следовательно, график функции на этом интервале – вогнутый. Точки x=-3 и x=-1 – точки перегиба графика функции, т.к. в этих точках происходит перемена знаки второй производной, а сама вторая производная обращается в ноль (рис.6).

Пример: исследовать функцию и построить график y(x) = x²/(x+2)²

1.Исследование функции.

а) Область допустимых значений аргумента (-∞, -2)U(-2, +∞).

б) Область изменения функции ².

а) Определим нули и интервалы знакопостоянства второй производной. Т.к. знаменатель дроби всегда положителен, то знак второй производной полностью определяется числителем. При -∞и при-2вторая производнаяy´´>0 , следовательно, график функции на этих интервалах – вогнутый; при1≤x<+∞ вторая производная y´´<0 , следовательно, график функции на этом интервале имеет выпуклость. При переходе через точку x=1 , знак второй производной меняется с плюса на минус, т.е. эта точка является точкой перегиба графика функции. При x→+∞ график функции асимптотически приближается к своей горизонтальной асимптоте y=1 снизу. При x→ -∞ , график приближается к своей горизонтальной асимптоте сверху (рис.7).

Инструкция

Найдите область определения функции. Например, функция sin(x) определена на всем интервале от -∞ до +∞, а функция 1/x - от -∞ до +∞ за исключением точки x = 0.

Определите области непрерывности и точки разрыва. Обычно функция непрерывна в той же самой области, где она определена. Чтобы обнаружить разрывы, нужно вычислить при приближении аргумента к изолированным точкам внутри области определения. Например, функция 1/x стремится к бесконечности, когда x→0+, и к минус бесконечности, когда x→0-. Это значит, что в точке x = 0 она имеет разрыв второго рода.
Если пределы в точке разрыва конечны, но не равны, то это разрыв первого рода. Если же они равны, то функция считается непрерывной, хотя в изолированной точке она и не определена.

Найдите вертикальные асимптоты, если они есть. Здесь вам помогут вычисления предыдущего шага, поскольку вертикальная асимптота практически всегда находится в точке разрыва второго рода. Однако иногда из области определения исключены не отдельные точки, а целые интервалы точек, и тогда вертикальные асимптоты могут располагаться на краях этих интервалов.

Проверьте, обладает ли функция особыми свойствами: четностью, нечетностью и периодичностью.
Функция будет четной, если для любого x в области определения f(x) = f(-x). Например, cos(x) и x^2 - четные функции.

Периодичность - свойство, говорящее о том, что есть некое число T, называемое периодом, что для любого x f(x) = f(x + T). Например, все основные тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс) - периодические.

Найдите точки . Для этого вычислите производную от заданной функции и найдите те значения x, где она обращается в ноль. Например, функция f(x) = x^3 + 9x^2 -15 имеет производную g(x) = 3x^2 + 18x, которая обращается в ноль при x = 0 и x = -6.

Чтобы определить, какие точки экстремума являются максимумами, а какие минимумами, отследите изменение знаков производной в найденных нулях. g(x) меняет знак с плюса в точке x = -6, а в точке x = 0 обратно с минуса на плюс. Следовательно, функция f(x) в первой точке имеет , а во второй - минимум.

Таким образом, вы нашли и области монотонности: f(x) монотонно возрастает на промежутке -∞;-6, монотонно убывает на -6;0 и снова возрастает на 0;+∞.

Найдите вторую производную. Ее корни покажут, где график заданной функции будет выпуклым, а где - вогнутым. Например, второй производной от функции f(x) будет h(x) = 6x + 18. Она обращается в ноль при x = -3, меняя при этом знак с минуса на плюс. Следовательно, график f(x) до этой точки будет выпуклым, после нее - вогнутым, а сама эта точка будет точкой перегиба.

У функции могут быть и другие асимптоты, кроме вертикальных, но только в том случае, если в ее область определения входит . Чтобы их найти, вычислите предел f(x), когда x→∞ или x→-∞. Если он конечен, то вы нашли горизонтальную асимптоту.

Наклонная асимптота - прямая вида kx + b. Чтобы найти k, вычислите предел f(x)/x при x→∞. Чтобы найти b - предел (f(x) – kx) при том же x→∞.

Постройте график функции по вычисленным данным. Обозначьте асимптоты, если они есть. Отметьте точки экстремума и значения функции в них. Для большей точности графика вычислите значения функции еще в нескольких промежуточных точках. Исследование завершено.